Question

已知函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，对任意正整数n，都有f（0）=1，f（1）=n²+1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）记P_n=a₂+a₄+a₈+…+a_2ⁿ（1≤n≤10），若T_n=P_n-n²-5n-5，求数列{T_n}中的最小项和最大项．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a₀=1，f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a_n=n²+1，从而求数列{a_n}的通项a_n；
（2）首先化简P_n=4（2ⁿ-1）-n，则T_n=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），令g（x）=2^x+2-x²-6x-9，通过讨论这个函数的单调性确定数列{T_n}中的最小项和最大项．

解答： 解：（1）由题意，
f（0）=a₀=1，
f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a_n=n²+1，
a_n=n²+1-（（n-1）²+1）=2n-1，n∈N^*，
故a_n=2n-1，n∈N^*，
（2）P_n=a₂+a₄+a₈+…+a_2n
=2×2-1+4×2-1+8×2-1+…+2×2ⁿ-1
=4（2ⁿ-1）-n，
则T_n=P_n-n²-5n-5=4（2ⁿ-1）-n-n²-5n-5
=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），
令g（x）=2^x+2-x²-6x-9，
g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6，
g″（x）=（ln2）²•2^x+2-2，
当x≥3时，g″（x）=（ln2）²•2^x+2-2≥（ln2）²•2³⁺²-2＞0，
则g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6在[3，+∞）上是增函数，
∴当x≥3时，g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6≥ln2•2³⁺²-2×3-6
＞

1

2

×2⁵-12＞0，
故g（x）=2^x+2-x²-6x-9在[3，+∞）上是增函数，
又∵T_n=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），
T₁=2¹⁺²-1²-6-9=-8，
T₂=2²⁺²-2²-12-9=-9，
T₃=2³⁺²-3²-18-9=-4，
T₁₀=2¹⁰⁺²-10²-60-9=3927．
故数列{T_n}中的最小项为T₂=-9，
最大项为T₁₀=3927．

点评：本题考查了函数的应用，同时考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了函数与数列的关系，属于难题．