Question

如图，正方形OABC的边长为2．
（1）在其四边或内部取点P（x，y），且x，y∈Z，求事件：“|OP|＞1”的概率；
（2）在其内部取点P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于

2

3

”的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）分析出正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z的全部基本事件个数，及满足“|OP|＞1”的基本事件个数，代入古典概型公式可得事件“|OP|＞1”的概率；
（2）求出满足条件的所有基本事件对应的平面区域Ω的面积，及满足条件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于

2

3

的平面区域面积，代入几何概型公式，可得事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于

2

3

”的概率．

解答： 解：（1）在正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z，所有可能的事件是
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
其中满足|OP|＞1的事件是
（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），
所以满足|OP|＞1的概率为

6

9

=

2

3

．
（2）在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，
由于各边长为2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于

2

3

，
应该三角形以正方形的边长为底边的高大于

2

3

，
所以这个区域为每个边长从两端各去掉

2

3

后剩余的正方形，
其面积为

1

3

×

1

3

=

1

9

，
所以满足条件的概率为

1

9

．

点评：本题考查的知识点是几何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件个数（对应区域面积）和满足条件的基本事件个数（对应区域面积）是解答的关键．