Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足：

2b

sin2A

=

c

sinA

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求函数y=3sin²A+sin²B+2

3

sinBsinA的单调减区间和取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，借助于正弦定理的推论，结合二倍角公式进行求解；
（Ⅱ）根据（1），同时结合二倍角公式和辅助角公式，化简函数，然后，再结合三角函数的图象与性质求解相应的单调减区间和函数值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵

2b

sin2A

=

c

sinA

，
∴

2b

2sinAcosA

=

c

sinA

，
∴

b

cosA

=c，
∴cosA=

b

c

，
由余弦定理，得：
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

，
∴a²+b²-c²=0
∴a²+b^2₌c²，
∴C=

π

2

；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，
∵A+B=

π

2

，
∴B=

π

2

-A，
∵函数y=3sin²A+sin²B+2

3

sinBsinA
=2sin²A+sin²A+cos²A+2

3

sinAcosA
=2×

1-cos2A

2

+

3

sin2A+1
=

3

sin2A-cos2A+2
=2sin（2A-

π

6

）+2
∵

π

2

+2kπ≤2A-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+kπ≤A≤

5π

6

+kπ，
∵0＜A＜

π

2

，
∴A∈（

π

3

，

π

2

），
函数y的单调减区间为（

π

3

，

π

2

），
∵0＜A＜

π

2

，
∴（2A-

π

6

）∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴2sin（2A-

π

6

）∈（-1，2]
∴y∈（1，4]，
∴函数y的值域为（1，4]．

点评：本题综合考查了二倍角公式、辅助角公式等，注意周期公式在解题中的灵活运用，属于中档题．