Question

已知函数f（x）=（2cos²x-1）cosφ+sin2xsinφ（0＜φ＜π）的图象过点（

π

12

，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和公式对函数解析式化简整理，把点的坐标代入求得φ，得到函数解析式．
（Ⅱ）利用图象变换的性质，求得g（x）的解析式，进而利用三角函数的图象和性质求得其单调递减区间．

解答： 解：（I）f（x）=（2cos²x-1）cosφ+sin2xsinφ=cos2xcosφ+sin2xsinφ=cos（2x-φ），
∵f（x）图象过点（

π

12

，1）
∴f（

π

12

）=cos（

π

6

-φ）=1，
∵0＜φ＜π，
∴-

5π

6

＜

π

6

-φ＜

π

6

，
∴

π

6

-φ=0即φ=

π

6

．
∴f（x）=cos（2x-

π

6

）．
（II）依题意可得g（x）=cos（4x-

π

6

），
当2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+π（k∈Z）时，即

kπ

2

+

π

24

≤x≤

kπ

2

+

7π

24

（k∈Z）时，函数单调减，
∴g（x）的单调递减区间为[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

7π

24

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想．