Question

已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=1，S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）若λ=0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＜

1

2

a_n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）λ=0时，由已知Sn+1=

an+1

an

Sn+an+1写出Sn=

an+1

an

Sn作差求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知求出

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=λ3n+1，利用累加法求出

Sn

an

-1=λ(3+32+…+3n-1)+n-1，仿写作差求出λ表达式，构造数列bn=

2n

3n+3

求出其最大值，得到λ的范围．

解答： 解：（1）λ=0时，Sn+1=

an+1

an

Sn+an+1
∴Sn=

an+1

an

Sn
∵a_n＞0，S_n＞0
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=1，
∴a_n=1
（2）∵S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
∴

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=λ3n+1，
则

S2

a2

-

S1

a1

=λ•3+1，

S3

a3

-

S2

a2

=λ•32+1，
∴

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=λ3n-1+1．
相加得

Sn

an

-1=λ(3+32+…+3n-1)+n-1．
则Sn=(λ•

3n-3

2

+n)•an，(n≥2)
上式对n=1也成立．
∴Sn=(λ•

3n-3

2

+n)•an，
Sn+1=(λ•

3n+1-3

2

+n+1)•an+1，(n≥2)
相减得an+1=(λ•

3n+1-3

2

+n+1)•an+1-(λ•

3n-3

2

+n)•an
即(λ•

3n+1-3

2

+n)•an+1=(λ•

3n-3

2

+n)•an
∵λ≥0，
∴(λ•

3n-3

2

+n)＞0，λ•

3n+1-3

2

+n＞0
∵a_n+1＜

1

2

a_n对一切n∈N^*恒成立，
∴(λ•

3n-3

2

+n)＜

1

2

(λ•

3n+1-3

2

+n)对一切n∈N^*恒成立，
即λ＞

2n

3n+3

对一切n∈N^*恒成立，
记bn=

2n

3n+3

则bn-bn+1=

2n

3n+3

-

2n+2

3n+1+3

=

(4n-2)3n-6

(3n+3)(3n+1+3)

当n=1时，b_n-b_n+1=0
当n≥2时b_n-b_n+1＞0
∴当n=1时，bn=

2n

3n+3

有最大值

1

3

∴λ＞

1

3

点评：本题考查数列求通项的方法；考查不等式恒成立转化为求最值，构造新数列的方法，属于一道综合题．