Question

在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量

a

=（a，b），从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,几何概型

专题：平面向量及应用,概率与统计

分析：根据古典概型的概率公式，分别求出满足条件的a，b的取法，即可得到结论．

解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是取出数字，构成向量，
a的取法有2种，b的取法有3种，故向量

a

=（a，b）有6个，
分别为

a

₁=（2，1），

a

₂=（2，3），

a

₃=（4，1），

a

₄=（4，3），

a5

=（2，5），

a6

=（4，5），从中任取两个向量共C₆²=15种取法，
设两个非零向量

a

，

b

，它们的夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

，
则sinθ=

1-cos2θ

=

| a |2•| b |2-( a • b )2

| a || b|

，

∴对应平行四边形的面积S=2×

1

2

|

a

|•|

b

|sinθ=

(| a |•| b |)2-( a • b )2

，
则S=2，则（|

a

||

b

|）²-（

a

•

b

）²=4，
当

a

₁=（2，1），

a

₃=（4，1）时，满足条件，
当

a

₁=（2，1），

a

₄=（4，3）时，满足条件，
当

a

₂=（2，3），

a6

=（4，5），满足条件．
∴满足条件的事件列举法求出面积等于2的三角形的个数有3个，
∴根据古典概型概率公式得到P=

3

15

=

1

5

，
故答案为：

1

5

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，考查平面向量的数量积的应用，综合性较强，难度较大．