Question

三角形三边所在直线方程分别为2x+y-12=0、3x-2y+10=0、x-4y+10=0．
（1）求表示三角形区域（含边界）的不等式组，并画出此区域（用阴影线条表示）；
（2）若点P（x，y）在上述区域运动，求z=x+2y的最大值和最小值，并求出相应的x、y值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据不等式和平面区域的关系，建立不等式组，并画出此区域（用阴影线条表示）；
（2）利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）不等式组为

2x+y-12≤0 3x-2y+10≥0 x-4y+10≤0

，对应的可行域如图：
（2）由z=x+2y，得y=-

1

2

x+

z

2

，
平移直线y=-

1

2

x+

z

2

，由图象可知当直线y=-

1

2

x+

z

2

经过点B时，直线y=-

1

2

x+

z

2

的截距最大，此时z最大．
由

2x+y-12=0 3x-2y+10=0

，得

x=2 y=8

，
即B（2，8），
此时z的最大值为z=2+2×8=18，
可知当直线y=-

1

2

x+

z

2

经过点A时，直线y=-

1

2

x+

z

2

的截距最小，此时z最小．
由

x-4y+10=0 3x-2y+10=0

，得

x=-2 y=2

，
即A（-2，2），
此时z的最小值为z=-2+2×2=2．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．