Question

1．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$为单位向量，|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，则$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 可知$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1$，这样对$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边平方，进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$，从而可以求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$，进而得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值，而$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$，进行数量积的运算可以求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$的值，从而便可得出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$；
由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$得：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$；
∴$1+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=2（1-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=1+\frac{2}{3}+1=\frac{8}{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{8}{3}}$；
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影为：
$|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{a}|•\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{1+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$而求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$的方法，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的概念及计算公式．