Question

6．已知点P（x，y），其中x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ y-2≥0\\ x-1≥0\end{array}$，则z₁=$\frac{y}{x}$的取值范围[1，3]，z=$\frac{y^2}{x}$的最大值是9．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，由z₁=$\frac{y}{x}$表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，通过图象即可得出．作出不等式组对应的平面区域要使z=$\frac{y^2}{x}$最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，
如图示：
由z₁=$\frac{y}{x}$表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
显然直线过A（1，3）时，z₁=$\frac{y}{x}$=3，
直线过（2，2）时，z₁=$\frac{y}{x}$=1，
故答案为：[1，3]．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则x≥1，y≥2，
要使z=$\frac{y^2}{x}$最大，则x最小，y最大即可，
由图象知当z=$\frac{y^2}{x}$经过点A时，z取得最大值，
则z的最大值是z=$\frac{{3}^{2}}{1}$=9，
故答案为：[1，3]；9．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，利用数形结合判断x，y的取值关系是解决本题的关键．