Question

11．已知关于x的函数f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$．
（1）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的最小值；
（2）求不等式f（x）≥-2的解集．

Answer 1

分析 （1）当x∈（1，+∞）时，利用导数法，分析函数的单调性，进而可得：当x=1+$\sqrt{2}$时，函数f（x）取最小值；
（2）f（x）≥-2可化为：$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，解得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$，
∴f′（x）=1-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$，
当x∈（1，+∞）时，当f′（x）=0，则x=1+$\sqrt{2}$，
当x∈（1，1+$\sqrt{2}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
当x∈（1+$\sqrt{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
故当x=1+$\sqrt{2}$时，函数f（x）取最小值1+2$\sqrt{2}$；
（2）f（x）≥-2可化为：x+2+$\frac{2}{x-1}$≥0，
即$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，
解得：x∈[-1，0]∪（1，+∞）

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，解不等式，难度中档．