Question

16．已知单位向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=$\frac{1}{2}$，|${\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}}$|（λ∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用平面向量的数量积运算求$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$；展开$|\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}$，利用配方法求得最值，开方后得答案．

解答 解：∵$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，且$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=60°$，
∴$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=$|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|cos60°=1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
由$|\overrightarrow{{e}_{1}}-λ\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}={\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2λ\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{λ}^{2}{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$1-2×\frac{1}{2}λ+{λ}^{2}={λ}^{2}-λ+1$
=$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$．
得|${\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}}$|的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．