Question

一水渠的横截面如图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m，渠OC深为1.5m，水面EF距AB为0.5m．
（1）求截面图中水面宽度；
（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度．
（2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、-

3

2

，求得对应的x的值，从而表示出截面面积，最后根据基本不等式的性质可求得t的值．

解答： 解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x²=

2

3

（y+

3

2

），
当y=-0.5时，x=±

6

3

，∴水面宽EF=

2 6

3

m．
（2）如上图，设抛物线一点M（t，

3

2

t²-

3

2

）（t＞0），
因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土．由y=

3

2

x²-

3

2

，求导得y′=3x，
∴过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-（

3

2

t²-

3

2

）=3t（x-t）．
令y=0，则x₁=

1+t2

2t

，令y=-

3

2

，则x₂=

t

2

，
故截面梯形面积为S=

1

2

（2x₁+2x₂）•

3

2

=

3

2

（

1

2t

+t）≥

3 2

2

，
当且仅当t=

2

2

时所挖土最少，此时下底宽

2

2

m．

点评：本题主要考查抛物线在实际生活中的应用．考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维；考查根据实际选择数学模型的能力（即数学建模能力）．