Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

anan+2

＜

3

16

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得首项；
（2）由原数列递推式求解S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案；
（3）利用裂项相消法求和后放缩证明数列不等式．

解答： 解：（1）由S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
令n=1，得：S12-(-1)S1-3×2=0，即S12+S1-6=0，
∵S₁＞0，解得a₁=S₁=2；
（2）由S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，得(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0，
∵a_n＞0，
∴S_n＞0，从而S_n+3＞0，Sn=n2+n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
又a₁=2，
∴a_n=2n；
（3）由（2）知，a_n=2n．
故有

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

anan+2

=

1

2×6

+

1

4×8

+

1

6×10

+…+

1

2n(2n+4)

=

1

4

[

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

]
=

1

4

[

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+1

)＜

1

8

(1+

1

2

)=

3

16

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．