Question

已知函数f（x）=|x|（x-a），a为实数．
（1）若g（x）为定义在R的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）+1=0有3个实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（x）在闭区间[1，2]上的最大值为-4，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,方程思想,函数的性质及应用

分析：（1）g（x）为定义在R的奇函数，g（-x）=-g（x），运用x＞0时，g（x）=f（x）=x（x-a），求得g（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x+a)，x＜0

，
（2）函数f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x2+ax，x＜0

，分类讨论解决．
（3）转化为二次函数闭区间上的最值讨论．

解答： 解：（1）∵g（x）为定义在R的奇函数，∴g（-x）=-g（x），
当x＞0时，g（x）=f（x）=x（x-a），
当x=0时，g（0）=0
设x＜0时，则-x＞0，
∴g（x）=-g（-x）=-[-x（-x-a）]=-x（x+a），（x＜0），
即g（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x+a)，x＜0

，
（2）函数f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x2+ax，x＜0

，
当a≤0时，两段的对称轴为x=

a

2

，x=-

a

2

，
可判断在（-∞，+∞）单调递增，不可能有3个交点；
当a＞0时，若x≥0，对称轴x=

a

2

，最小值为-

a2

4

，
若x＜0时，对称轴x=-

a

2

，最大值为

a2

4

，
所以：-

a2

4

＜-1＜

a2

4

，即a＞2，a＜-2，
综上：实数a的取值范围：（-∞，-2）
（3）当a≤0时判断在（-∞，+∞）单调递增，f（0）=0，在闭区间[1，2]上的最大值为-4，不可能；
当a＞0时，若x≥0，对称轴x=

a

2

，最小值为-

a2

4

，
∴

a 2 ≥ 3 2 f(1)=1-a=-4

或

a 2 ＜ 3 2 f(2)=4-2a=-4

解得a=5
所以存在实数a，使得f（x）在闭区间[1，2]上的最大值为-4

点评：本题综合考查了函数的性质，方程思想的运用，不等式的结合，难度较大，做题仔细认真些．