Question

已知函数f（x）=x²-2x+4，其定义域为[a，a+1]（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的值域；
（2）设f（x）的值域为B，若7∈B，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对f（x）进行配方得f（x）=（x-1）²+3，a=1时，定义域为[1，2]，通过解析式即可求出f（x）的值域；
（2）因为7∈B，所以x²-2x+4=7，解得x=-1，或3，所以-1∈[a，a+1]，或3∈[a，a+1]．-1∈[a，a+1]时，a≤-1≤a+1，能得到-1≤a+1≤0，所以f（x）在[a，a+1]上单调递减，所以x=a+1时，f（x）取最小值x²+3，同样的方法，当3∈[a，a+1]时，f（x）的最小值求出是a²-2a+4．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）的定义域为[1，2]；
f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，∴f（x）在[1，2]上单调递增；
∴f（x）的值域为[f（1），f（2）]=[3，4]；
（2）解x²-2x+4=7得x=-1或3；
∵f（x）的定义域为[a，a+1]；
∴-1∈[a，a+1]，或3∈[a，a+1]；
当-1∈[a，a+1]时，a≤-1≤a+1，∴-2≤a≤-1，-1≤a+1≤0；
∴f（x）在[a，a+1]上单调递减，x=a+1时，f（x）取最小值a²+3；
当3∈[a，a+1]时，a≤3≤a+1，∴2≤a≤3；
∴f（x）在[a，a+1]上单调递增；
∴x=a时，f（x）取最小值a²-2a+4．

点评：考查对二次函数配方，根据二次函数的单调性求二次函数的值域，以及根据二次函数的单调性求二次函数的最值．