Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=

2

a
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-BC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知推导出PD⊥AD，同理PD⊥CD，由此能证明PD⊥底面ABCD．
（2）由PD⊥面ABCD，得二面角P-BC-D为∠PCD，由此能求出二面角P-BC-D的大小．

解答： （1）证明：因为四棱锥P-ABCD，底面是边长为a的正方形，
侧棱PD=a，PA=PC=

2

a，
即PA²=2a²=DA²+PD²=a²+a²，
所以PD⊥AD，同理PD⊥CD，AD∩CD=D，
所以PD⊥底面ABCD．
（2）因为PD⊥面ABCD，
所以二面角P-BC-D的平面角为∠PCD，
因为PD=a，DC=a，PD⊥DC，
所以，∠PCD=45°，
所以二面角P-BC-D为45°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．