Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点，
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）cos＜

EF

，

CB1

＞

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出；
（2）利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）证明：不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），
E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），
则

D1F

=（0，

1

2

，-1），

D A

=（1，0，0），

AE

=（0，1，

1

2

），
则

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

AE

=0，
∴

D1F

⊥

DA

，

D1F

⊥

AE

．
∴D₁F⊥平面ADE．
（2）B₁（1，1，1），C（0，1，0），
故

CB1

=（1，0，1），

EF

=（-1，-

1

2

，-

1

2

），
∴

EF

•

CB1

=-1+0-

1

2

=-

3

2

，|

EF

|=

1+ 1 4 + 1 4

=

3 2

，|

CB1

|=

2

，
则cos＜

EF

，

CB1

＞=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

=

- 3 2

3 2 • 2

=-

3

2

．
＜

EF

，

CB1

＞=150°．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理、利用向量的夹角公式即可得出异面直线的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．