Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数f（x）=x²+mx-

1

4

为偶函数，且f（cos

B

2

）=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

15 3

4

，其外接圆半径为

7 3

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：正弦定理,函数奇偶性的性质

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由f（x）为偶函数，利用偶函数得性质求出m的值，确定出f（x）解析式，再由f（cos

B

2

）=0，求出cosB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinB与2R代入求出b的值，利用三角形面积公式列出关系式，将sinB以及已知面积相等求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，利用完全平方公式求出a+c的值，即可确定出三角形周长．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+mx-

1

4

是偶函数，
∴f（x）=f（-x），即x²+mx-

1

4

=x²-mx-

1

4

，
解得：m=0，即f（x）=x²-

1

4

，
又f（cos

B

2

）=0，
∴cos²

B

2

=

1

4

，即

1+cosB

2

=

1

4

，
∴cosB=-

1

2

，
又B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC的外接圆半径为

7 3

3

，
∴根据正弦定理

b

sinB

=2R得，

b

sin 2π 3

=

14 3

3

，即b=7，
又S_△ABC=

1

2

acsinB=

15 3

4

，
∴ac=15，
在△ABC中，根据余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
整理得：a²+c²-15=49，即a²+c²=34，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=64，
∴a+c=8，
则△ABC的周长等于15．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．