Question

8．已知命题P函数y=lg（2ax²+2x+1）的定义域为R；命题Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立；若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出P，Q成立的等价条件，利用P∨Q为真，P∧Q为假，确定实数a的取值范围

解答 解：若函数y=lg（2ax²+2x+1）的定义域为R，
则$\left\{\begin{array}{l}{2a＞0}\\{△=4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{1}{2}$，即P：a＞$\frac{1}{2}$．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，
当a=2时，不等式等价为-4＜0，成立．
当a≠0时，要使不等式恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{△={4（a-2）}^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜2，
综上：-2＜a≤2，
即Q：-2＜a≤2，
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，
则P，Q一真一假，
若P假Q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤$\frac{1}{2}$．
若P真Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a＞2或a≤-2}\end{array}\right.$，解得a＞2．
综上：实数a的取值范围是（-2，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．