Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，E为侧棱PC上一点．
（1）若BE⊥PC，求证：平面BDE⊥平面PBC；
（2）若PA∥平面BDE，求证：E是PC的中点．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥PC，由此能证明平面BDE⊥平面PBC．
（2）设AC∩BD=O，连接OE，推导出AO=OC，PA∥OE，由此能证明E是PC的中点．

解答 证明：（1）连接AC，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD…（1分）
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD…（2分）
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分），BD⊥PC…（5分）
因为BE⊥PC，BD∩BE=B，所以PC⊥平面BDE…（6分）
因为PC?平面PBC，所以平面BDE⊥平面PBC…（8分）
（2）设AC∩BD=O，连接OE，因为ABCD为菱形，所以AO=OC…（9分）
因为PA∥平面BDF，平面PAC∩平面BDE=OE，所以PA∥OE…（11分）
所以PE=EC，E是PC的中点…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段中点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．