Question

2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1
故球的半径R=$\sqrt{2}$
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=8π
故答案为：8π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键．