Question

17．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．
（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；
（2）求y的最大值，并指出相应的x值．

Answer 1

分析 （1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD，求出OH，又在直角△AND中，进一步求出AD，从而求出梯形ABCD的周长y与x间的函数解析式，根据AD＞0，AN＞0，CD＞0可求出定义域；
（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

解答 解：（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，
连结OD．由圆的性质，H是中点，设OH=h，
h=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}=\sqrt{4-{x}^{2}}$．
又在直角△AND中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}=\sqrt{（2-x）^{2}+（4-{x}^{2}）}$=$\sqrt{8-4x}$=2$\sqrt{2-x}$，

∴y=f（x）=AB+2AD+DC=4+2x+4$\sqrt{2-x}$，其定义域是（0，2）；
（2）令t=$\sqrt{2-x}$，则t∈（0，$\sqrt{2}$），且x=2-t²，
∴y=4+2•（2-t²）+4t=-2（t-1）²+10，
当t=1，即x=1时，y的最大值是10．

点评 本题考查了函数的最值及其几何意义，考查了二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．