Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为$\sqrt{2}$a，M为A₁B₁的中点，求BC₁与平面AMC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC₁与平面AMC₁所成角的正弦值．

解答 解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），C₁（0，a，$\sqrt{2}a$），A（0，0，0），M（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\sqrt{2}a$），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\sqrt{2}a$），
设平面AMC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}a}{4}x+\frac{a}{4}y+\sqrt{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=ay+\sqrt{2}az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，1），
设BC₁与平面AMC₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{2}a|}{\sqrt{3}a•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴BC₁与平面AMC₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．