Question

已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意解不等式组，求出即可，（2）分别讨论当1＜p＜3时，当p≥3时的情况，从而求出函数的值域．

解答： 解：（1）由题意得：

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞

，解得：1＜x＜p，
∴函数f（x）的定义域为（1，p）．
（2）①当

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当

1≤ p-1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3时，g(p)＜t≤g(

p-1

2

)，即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）

点评：本题考查了对数函数的图象及性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．