Question

已知函数f（x）=

2

x-1

，
（1）利用函数单调性的定义判断函数在区间[2，6]上的单调性；
（2）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的单调性定义进行判断；（2）根据单调性求函数的最大值和最小值．

解答： 解：（1）设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

…（2分）
=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．…（6分）
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数．…（8分）
（2）因为函数y=

2

1-x

在区间[2，6]上是减函数，
∴函数y=

2

1-x

在区间两个端点上分别取得最大值和最小值，
即当x=2时，y_max=2；当x=6时，ymin=

2

5

．

点评：本题主要考查函数的单调性和利用单调性求函数的最大值、最小值．