Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性（不证明）；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质可得f（0）=0，f（-1）=-f（1），据此可求得a，b；
（2）f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，根据指数函数的单调性可得结论；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而可转化为具体不等式，然后分离参数k，转化为求二次函数的最值即可；

解答： 解（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，b=1，
又f（-1）=-f（1），得a=1，经检验a=1，b=1符合题意．
（2）由（1）知f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
∵y=2^x递增，
∴y=

2

2x+1

递减，
∴f（x）在R上是单调递减函数．
（3）∵t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
又f（x）为奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
∵f（x）为减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
∴k＜-

1

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断及其应用，考查函数恒成立问题，考查转化思想，属中档题．