Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2-2S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃（1-S_n）（n∈N^*），若$\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{25}{51}$，求自然数n的值．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1得出递推公式，得出{a_n}为等比数列，再计算a₁，得出通项公式；
（2）计算b_n，利用裂项法求和，根据求和公式列方程得出n．

解答 解：（1）由a_n=2-2S_n得2S_n=2-a_n，
∴2S_n-1=2-a_n-1，（n≥2）
当n=1时，a₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，2a_n=a_n-1-a_n，即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（2）S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，∴b_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{n+1}$=$\frac{25}{51}$，解得n=101．

点评 本题考查了等比数列的判断，裂项法求和，属于基础题．