Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上点P，其左、右焦点分别为F₁，F₂，△PF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{3}$，且满足$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}+sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上互不重合的四个点，AC与BD相交于F₁，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，求$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求．
（2）设直线AC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式即可求得|AC|的值，将$-\frac{1}{k}$代入上式可得|BD|，由k²＞0，即可求得$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围．

解答 解：（1）如图，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}+sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=2，
得$\frac{m+n}{2c}=2$，即$\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}=1$，
由△PF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{3}$，得bc=$\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{a=c}\\{bc=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线AC斜率不存在时，$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{3}{4}$，当直线AC斜率为0时，$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{4}{3}$，
当直线AC斜率存在且不为0时，设直线AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁）C（x₂，y₂），BD：$y=-\frac{1}{k}（x+1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则|AC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
将$-\frac{1}{k}$代入上式可得|BD|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
则$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{3{k}^{2}+4}{4{k}^{2}+3}=\frac{3}{4}+\frac{7}{4}•\frac{1}{4{k}^{2}+3}$，
由k²＞0，则$\frac{3}{4}＜\frac{3}{4}+\frac{7}{4}•\frac{1}{4{k}^{2}+3}＜\frac{4}{3}$，
综上，$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范围为[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．