Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且$PA=AB=BC=\frac{1}{2}AD=1$．
（1）求直线PB与CD所成的角；
（2）求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点Q，连BQ、PQ．可得∠PBQ即为PB与CD所成的角．
可得△PBQ是边长为$\sqrt{2}$的正三角形，∠PBQ=60°，即可；
（2）令A到平面PCD的距离为d，由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}{S_{△PCD}}•d=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PA$，
即PC•CD•d=AD•CQ•PA，即$\sqrt{3}•\sqrt{2}•d=2•1•1$，即得点A到平面PCD的距离．

解答 解：（1）取AD的中点Q，连BQ、PQ．
因为$BC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，所以$DQ\underline{\underline{∥}}BC$，即四边形BCDQ为平行四边形，所以BQ∥CD，
于是∠PBQ即为PB与CD所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，由PA=AB=1，得$PB=\sqrt{2}$，同理$PQ=\sqrt{2}$．
又因为∠ABC=90°，BC∥AD，所以∠BAQ=90°，由AB=AQ=1，得$BQ=\sqrt{2}$，
于是△PBQ是边长为$\sqrt{2}$的正三角形，所以∠PBQ=60°，
即PB与CD所成的角为60°．
（2）由AB=BC=1，∠ABC=90°，得$AC=\sqrt{2}$，于是$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{3}$，
连CQ，由AD=2，Q为AD的中点，得DQ=1，
而CQ=AB=1，所以$CD=\sqrt{2}$，
又因为PD²=PA²+AD²=5，所以PD²=PC²+CD²，即∠PCD=90°，
令A到平面PCD的距离为d，
由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}{S_{△PCD}}•d=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PA$，
即PC•CD•d=AD•CQ•PA，即$\sqrt{3}•\sqrt{2}•d=2•1•1$，解得$d=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即点A到平面PCD的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了空间线线角、点面距离，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题，