Question

2．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．

分数	[0，90）	[90，105）	[105，1200）	[120，135）	[135，150）
甲班频数	5	6	4	4	1
乙班频数	1	3		6	5

（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，（n=a+b+c+d）
临界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K²，对照临界值得出结论；
（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；

	甲班	乙班	总计
成绩优良	9	16	25
成绩不优良	11	4	15
总计	20	20	40

根据列联表，计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{40{×（9×4-16×11）}^{2}}{25×15×20×20}$≈5.227＞5.024，
对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；
（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{33}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{11}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{66}{455}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{4}{455}$；
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{4}{255}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{33}{91}$+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．