Question

1．如图，在边长为2的正三角形△ABC中，D为BC的中点，E，F分别在边CA，AB上．
（1）若$DE=\sqrt{2}$，求CE的长；
（2）若∠EDF=60°，问：当∠CDE取何值时，△DEF的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由已知及余弦定理可得CE²-CE-1=0，进而解得CE的值．
（2）设∠CDE=α，30⁰≤α≤90⁰，在△CDE中，由正弦定理，可求DE=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（60°+α）}$，$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2sinα}$，利用三角形面积公式可求S_△DEF=$\frac{3\sqrt{3}}{4+8sin（2α-30°）}$，由范围30⁰≤2α-30⁰≤150⁰，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）在△CDE中，$∠DCE={60^0}，CD=1，DE=\sqrt{2}$，
由余弦定理得，DE²=CD²+CE²-2×CD×CE×cos60°，
得CE²-CE-1=0，解得$CE=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
（2）设∠CDE=α，30⁰≤α≤90⁰，
在△CDE中，由正弦定理，得$\frac{DE}{sin∠DCE}=\frac{DC}{sin∠CED}$，
所以$DE=\frac{{sin{{60}^0}}}{{sin（{{{60}^0}+α}）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2sin（{{{60}^0}+α}）}}$，同理$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2sinα}$，
故${S_{△DEF}}=\frac{1}{2}×DE×DF×sin∠EDF=\frac{{3\sqrt{3}}}{{16sinαsin（{{{60}^0}+α}）}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{4+8sin（{2α-{{30}^0}}）}}$，
因为30⁰≤α≤90⁰，30⁰≤2α-30⁰≤150⁰，
所以当α=60⁰时，sin（2α-30⁰）的最大值为1，此时△DEF的面积取到最小值．
即∠CDE=60°时，△DEF的面积的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，正弦函数的图象和性质的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．