Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n-1（n∈N^*），求数列{b_n}的通项b_n和前n项和S_n；
（2）设c_n=

2n

an•an+1

，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

3

；
（3）求使得T_n＜

m

2014

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）通过题目中的构造，得到等比数列，利用等比数列的通项公式以及前n项和公，式求出数列{b_n}的通项b_n和前n项和S_n，得到本题结论；（2）通过裂项法求和，从而证明T_n＜

1

3

；（3）利用（2）的结论，结合不等关系式，求出最小正整数m，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵b_n=a_n-1，
∴b_n+1=a_n+1-1，
代入a_n+1=2a_n-1，
得b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是以b₁=2为首项，以2为公比的等比致列，
∴bn=b1qn-1=2n，
Sn=

b1(1-qn)

1-q

=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）知b_n=a_n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+′1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

．．
∴T_n=（

1

21+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=

1

3

-

1

2n+1

＜

1

3

．
（3）由（2）知，欲使得T n＜

m

2014

对所有n∈N^*都成立，
只需

m

2014

≥

1

3

即m≥671

1

3

．
故符合条件的最小正整数m=672．

点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列求和的方法，本题有一定的综合性，属于中档题．