Question

若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（　　）

• A、f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”
• B、f（x）=x²是一个“λ的相关函数”
• C、f（x）=e^-x是一个“λ的相关函数”
• D、“

  1

  2

  的相关函数”至少有一个零点

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用新定义“λ的相关函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案

解答： 解：对于A，设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故A不正确；
对于B，用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ的相关函数”，故B不正确；
对于C，假设f（x）=e^-x是一个“λ的相关函数”，则e^-（x+λ）+λe^-x=0对任意实数x∈R成立，则e^-λ+λ=0，此式无解，
∴f（x）=e^-x不是一个“λ的相关函数”，故C不正确；
对于D，令x=0，得f（

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）+

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2

f（0）=0，所以f（

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）=-

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f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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2

[f（0）]²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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）上必有实数根．因此任意的“

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2

的相关函数”必有根，即任意“

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的相关函数”至少有一个零点，
故D正确．
故选：D．

点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ的相关函数的概念是关键，属于中档题．