Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），满足f（x）=pf（x+q），pq≠0，则称为“等比函数”，p称为“公比”，q称为“项距”．已知函数f（x）是公比为

1

3

，项距为

2

3

的“等比函数”，且x∈[0，

2

3

）时，f（x）=

-3x2+2x

，则当x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）时，f（x）的最大值中的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：由题意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），当x∈[

2

3

，

4

3

），即有x-

2

3

∈[0，

2

3

），即可得到f（x-

2

3

），进而得到f（x）的表达式，进而求得最大值．

解答： 解：由题意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），
x∈[0，

2

3

）时，f（x）=

-3x2+2x

，
当n=1时，x∈[

2

3

，

4

3

]，即有x-

2

3

∈[0，

2

3

]，f（x-

2

3

）=

-3(x- 2 3 )2+2(x- 2 3 )

=

-3(x-1)2+ 1 3

=

1

3

f（x），则有f（x）=3

-3(x-1)2+ 1 3

，
则当x=1时，取得最大值3×

3

3

=

3

，
当n=2，x∈[

4

3

，2]，则x-

4

3

∈[0，

2

3

]，
f（x-

4

3

）=

-3(x- 4 3 )2+ 1 3

=

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

=

1

3

f（x-

2

3

）
=

1

9

f（x），即有f（x）=9

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

，则当x=

5

3

时，取得最大值9

1 3

=3

3

，
同理n=3，x∈[2，

8

3

]，f（x）=27

1 3 -2(x- 7 3 )2

，当x=

7

3

时，取得最大值9

3

．
故可得到，当x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）时，f（x）的最大值为3^n-1

3

．
故选B．

点评：本题考查新定义及运用，考查函数的最值，考查二次函数的最值，注意对称轴和区间的关系，属于中档题．