Question

已知

a

=（sinx，-cosx），

b

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当0≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期性、正弦函数的单调性即可得出；
（2）当0≤x≤

π

2

时，可得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，利用正弦函数的单调性可得-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，即可得到函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

+

3

2

=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3 (1+cos2x)

2

+

3

2

=sin(2x-

π

3

)，
∴T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，
∴函数f（x）的单调递减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ](k∈Z)；
（2）当0≤x≤

π

2

时，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴函数f（x）的值域是[-

3

2

，1]．

点评：本题考查了向量的数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期性、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．