Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=an+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质，列出方程组能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出bn=an+2n=n+2ⁿ，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ） 设等差数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
∴

10a1+ 10×9d 2 =55 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)

⇒

2a1+9d=11 d2-a1d=0

，
∵d≠0，∴d=a₁
∴2a₁+9a₁=11，解得a₁=1，d=1
∴a_n=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
∴bn=an+2n=n+2ⁿ，
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n )

1-2

=2ⁿ⁺¹+

n2+n

2

-2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．