Question

14．已知函数f（x）=2sinωπx，且函数f（x）的图象与y=-2的图象的相邻两交点的横坐标之差为2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大π倍得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值为2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m 的最小值，根据它的最小值为2，求得实数m的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2sinωπx，且函数f（x）的图象与y=-2的图象的相邻两交点的横坐标之差为2，
可得T=$\frac{2π}{ωπ}$=2，∴ω=1，f（x）=2sinπx．
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大π倍得到函数g（x）=2sinx的图象，
∵x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）-m∈[-$\sqrt{3}$-m，2-m]，
若函数y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-m 在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值为2，
则-$\sqrt{3}$-m=2，∴m=-$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．