Question

12．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求$\sqrt{3}$x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，化极坐标方程为普通方程；
（2）由点P在圆内，代入圆的方程，可得t的范围，再由不等式的性质，即可得到$\sqrt{3}$x+y的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$sinθ-2cosθ．
∴ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ-2ρcosθ．
∴x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x，即（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
所以曲线C的直角坐标方程为（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
（Ⅱ）∵$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）+$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t=-t，
由P在圆内，可得（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+1）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t-$\sqrt{3}$）²＜2，
即$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{4}$t²＜2，即t²＜2，
解得-$\sqrt{2}$＜t＜$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜-t＜$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{3}$x+y的范围是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程和普通方程的互化，主要考查点和圆的位置关系，以及不等式的性质的运用，属于中档题．