Question

13．如图所示，某公园内从点A处出发有两条道路AB，AC连接到南北方向的道路BC．从点A处观察点B和点C的方位角分别是∠PAB和∠PAC，且cos∠PAB=$\frac{7}{25}$，cos∠PAC=$\frac{3}{5}$，AB=2.5km．
（1）求AC和BC；
（2）现有甲乙二人同时从点A处出发，甲以5km/h的速度沿道路AC步行，乙以6km/h的速度沿A-B-C路线步行，问半小时后两人的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）由诱导公式和正弦定理即可求出；
（2）先判断所在的位置，再根据余弦定理即可求出．

解答 （1）因为$cos∠PAB=\frac{7}{25}$，$cos∠PAC=\frac{3}{5}$，AB=2.5km，
所以在△ABC中，$cosB=-\frac{7}{25}$，$cosC=\frac{3}{5}$，
所以$sinB=\frac{24}{25}$，$sinC=\frac{4}{5}$，
$sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=\frac{44}{125}$，
在△ABC中，由正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$
得：$BC=\frac{ABsinA}{sinC}=1.1（km）$，$AC=\frac{ABsinB}{sinC}=3（km）$
（2）半小时后，假设甲位于点D，则AB=2.5km，
假设乙位于点E，因为乙的路程为3km，大于2.5km，
故点应位于道路BC上，且CE=0.6km，
在△CDE中，由余弦定理得：DE²=DC²+CE²-2DC•CEcosC=0.5²+0.6²-2×0.5×0.6×0.6=0.5²，
所以DE=0.5km．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．