Question

在直角坐标系xOy中，点p到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，设点p的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A、B两点．
（1）求C的方程；
（2）若|AB|=

8

5

2

，求k的值；
（3）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（4）当k=1时，求AB的中点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用椭圆的定义可知其轨迹为椭圆，设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由2a=4，c=

3

，b²=a²-c²，解出即可．．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆方程联立可得（4+k²）x²+2kx-3=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．
（3）由

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，利用根与系数的关系即可得出．
（4）利用根与系数的关系与中点坐标公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4＞2

3

，∴点p的轨迹C为椭圆．
设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
则2a=4，c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的标准方程为：

y2

4

+x2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，化为（4+k²）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=

-2k

4+k2

，x1x2=

-3

4+k2

，
∵|AB|=

8

5

2

，
∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 2

5

，
∴（1+k²）[(

-2k

4+k2

)2-

4×(-3)

4+k2

]=

128

25

，
化为17k⁴+36k²-53=0，
解得k²=1，
∴k=±1．
（3）∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴

-3(1+k2)

4+k2

+

-2k2

4+k2

+1=0，
化为4k²=1，
解得k=±

1

2

．
（4）设AB的中点M（x₀，y₀），
∵k=1，
∴x0=

x1+x2

2

=

-1

4+12

=-

1

5

，
y₀=x₀+1=

4

5

，
∴M(-

1

5

，

4

5

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．