Question

在三棱锥A-BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=

2

，O为BD的中点
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AO⊥BD，AO⊥CO，由此能证明AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵在三棱锥A-BCD中，
底面BCD是正三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，
连结CO，∵AC=BD=2，AB=AD=

2

，
∴AO=

2-1

=1，CO=

4-1

=

3

，
∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥CO，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，
OC为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，1），D（-2，0，0），
C（0，

3

，0），B（1，0，0），

AD

=（-2，0，-1），

AC

=（0，

3

，-1），
设平面ADC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AD =-2x-z=0 n • AC = 2 y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，-2），
平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

-2

1+2+4

=-

2 7

7

，
∵二面角A-DC-B是锐二面角，∴二面角A-DC-B的余弦值为

2 7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．