Question

4．已知函数f（x）=lnx-x³与g（x）=x³-ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，e）
• B． （-∞，e]
• C． $（-∞，\frac{1}{e}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{e}]$

Answer 1

分析 由题意可知f（x）=-g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．

解答 解：函数f（x）=lnx-x³与g（x）=x³-ax的图象上存在关于x轴的对称点，
∴f（x）=-g（x）有解，
∴lnx-x³=-x³+ax，
∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，
分别设y=lnx，y=ax，
若y=ax为y=lnx的切线，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，y₀），
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$，ax₀=lnx₀，
∴x₀=e，
∴a=$\frac{1}{e}$，
结合图象可知，a≤$\frac{1}{e}$
故选：D．

点评 本题导数的几何意义，以及函数与方程的综合应用问题，关键是转化为y=lnx与y=ax有交点，属于中档题．