Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）求函数f（x）为奇函数时a的值．
（2）探索f（x）的单调性、并运用单调函数定义给出证明．
（3）当f（x）为奇函数时，关于x的不等式f（x²-kx+1）＞0恒成立．求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据函数的定义域为R，直接由f（0）=0求解a的值；
（2）由2^x为增函数，得到

2

2x+1

为减函数，进一步得到f（x）=a-

2

2x+1

为增函数，然后直接利用函数单调性的定义加以证明；
（3）由函数是奇函数可得f（0）=0，然后结合函数的单调性去掉“f”，最后利用二次不等式所对应方程的判别式小于0得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a-

2

2x+1

的定义域为R，且函数为奇函数，则
f（0）=a-

2

20+1

=0，即a=1；
（2）函数f（x）=a-

2

2x+1

在（-∞，+∞）上为增函数．
证明：设x₁，x₂是（-∞，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=

2x1+1-2x2+1

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1+1＜2x2+1，
∴

2x1+1-2x2+1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=a-

2

2x+1

在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）当f（x）为奇函数时关于x的不等式f（x²-kx+1）＞0恒成立，
即f（x²-kx+1）＞f（0）成立，
又函数f（x）为增函数，
则x²-kx+1＞0恒成立，
∴△=（-k）²-4＜0，解得-2＜k＜2．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了函数单调性的证明方法，训练了利用函数的单调性求解不等式，是中档题．