已知从“神十飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为$\frac{1}{3}$.某植物研究所进行该种子的发芽实验.每次实验种一粒种子.每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的.如果种子没有发芽.则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验.设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为$\frac{1}{3}$，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）记“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

分析（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，ξ的可能取值为4，2，0．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）ξ的可能取值为0，2，4．当ξ=0时，不等式为1＞0对x∈R恒成立，解集为R；当ξ=2时，不等式为2x²-2x+1＞0，解集为R；ξ=4时，不等式为4x²-4x+1＞0，解集为$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不为R，由此能求出事件A发生的概率P（A）．

解答解：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，
相应地，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为4，2，0．
$P（{ξ=4}）=C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}{（{\frac{2}{3}}）^0}+C_4^0{（{\frac{1}{3}}）^0}{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{17}{81}$，
$P（{ξ=2}）=C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}（{\frac{2}{3}}）+C_4^1（{\frac{1}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{40}{81}$，
$P（{ξ=0}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$．
所以ξ的分别列为：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

期望$E（ξ）=0×\frac{8}{27}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}=\frac{148}{81}$．…（6分）
（2）ξ的可能取值为0，2，4．
当ξ=0时，不等式为1＞0对x∈R恒成立，解集为R；
当ξ=2时，不等式为2x²-2x+1＞0，解集为R；
ξ=4时，不等式为4x²-4x+1＞0，解集为$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不为R，
所以$P（A）=P（{ξ=0}）+P（{ξ=2}）=\frac{64}{81}$．…（12分）

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．