Question

6．已知正数数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，则a_n=2n-1．

Answer 1

分析 ${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，
∴n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
故答案为：2n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．