Question

7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x=c或x=-c，代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，依题意$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4a，即可求出C的离心率．

解答 解：设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x=c或x=-c，代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，∴y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
故|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，依题意$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4a，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，∴e²-1=2，∴e=$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．