Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点$（{2，\sqrt{3}}））$，直线l₁：y=kx+m（m＞0）与圆C₂：（x-1）²+y²=1相切且与椭圆C₁交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）过原点O作l₁的平行线l₂交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线l₁的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得AB的长度，联立直线l₂的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合|AB|=λ|CD|利用换元法求解λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{4}=1}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
故${C_1}：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化简得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-4）=0，
△＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-4）}}{{1+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，得$|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{1+4{k^2}}}$，
把l₂：y=kx代入${C_1}：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，得${x^2}=\frac{16}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|CD|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$，
∴$λ=\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{{\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{2\sqrt{1+4{k^2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^2}{{1+4{k^2}}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^2}{{1+4{{（\frac{{1-{m^2}}}{2m}）}^2}}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^4}{{{m^4}-{m^2}+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{1}{{{{（\frac{1}{m^2}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{3}{4}}}}≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
当$m=\sqrt{2}，k=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，λ取最小值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求最值，是中档题．