Question

5．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4$\sqrt{5}$，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位10．

Answer 1

分析 由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可得BC²-6BC-55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵b=4$\sqrt{5}$，c=5，B=2C，
∴由正弦定理可得：$\frac{5}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{2sinCcosC}$，可得：cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{3}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4$\sqrt{5}$）²=5²+BC²-2×$5×BC×\frac{3}{5}$，
整理可得：BC²-6BC-55=0，解得：BC=11或-5（舍去），
∴DC=BC-BD=11-6=5，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•DC•sinC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×5×\frac{\sqrt{5}}{5}$=10．
故答案为：10．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．