Question

3．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为$\frac{π}{3}$，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．
（1）求原来圆锥的侧面积；
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）设BD的中点为O，连结OA，OC，则OA⊥平面BCD．由经能求出S_圆锥侧．
（2）该几何体的体积V=$\frac{1}{3}$（S_△BCD+S_半圆）•AO，由此能求出结果．

解答 解：（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，
∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，
∴OA⊥平面BCD．
∵BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为$\frac{π}{3}$，过点A作截面ABC，ACD，
∴在Rt△AOC中，OC=1，$∠ACO=\frac{π}{3}$，
AC=2，AO=$\sqrt{3}$，
∴S_圆锥侧=πrl=$π×\frac{2}{2}×2$=2π．
（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，
∵AO=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，∴CD=$\sqrt{3}$，
该几何体的体积V=$\frac{1}{3}$（S_△BCD+S_半圆）•AO
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{π}{2}）×\sqrt{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}π}{6}$．

点评 本题考查原来圆锥的侧面积和几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．