Question

已知函数f（x）=ax³e^x-1+bx³+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c为常数，
（1）试确定a，b的值；
（2）当x∈[-4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c²-2c-1成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数极值的关系列出方程组即可求出a，b的值；
（2）由（1）得f（x）=3x³e^x-1-4x³+c，f′（x）=9x²e^x-1+3x³e^x-1-12x²=3x²[（3+x）e^x-1-4]，利用导数即可求得函数的单调区间；
（3）由（2）可知，当x=1时，f（x）_min=-1+c，则有-1+c≤c²-2c-1，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²e^x-1+ax³e^x-1+3bx²，
∵f（x）=ax³e^x-1+bx³+c在x=1处取得极值2b+c+7，
∴

f′(1)=0 f(1)=2b+c+7

即

4a+3b=0 a+b+c=2b+c+7

解得a=3，b=-4．
（2）由（1）得f（x）=3x³e^x-1-4x³+c，
f′（x）=9x²e^x-1+3x³e^x-1-12x²=3x²[（3+x）e^x-1-4]，
∴当-4≤x≤1时，f′（x）≤0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[-4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）可知，当x=1时，f（x）_min=-1+c，
∴若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c²-2c-1成立，则有，
-1+c≤c²-2c-1，解得c≤0或c≥3．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力，属于中档题．